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Triedro de Frenet:
A partir de los vectores del triedro de Frenet construiremos planos (el osculador, el normal y el rectificante). También introduciremos los conceptos de curvatura y torsión, que nos darán información de cómo se “dobla” y “retuerce” la curva en el espacio.
Para llegar calcular el Triedro de Frenet en cualquier punto de una curva, lo primero que debemos hacer es parametrizarla (en el caso de que no lo este). Una vez que hallamos parametrizado la curva en cuestión, generalmente mediante coordenadas polares, podemos comenzar a “construir” nuestro Triedro de Frenet.
2. Vector Tangente.
Lo primero que deberíamos hacer es calcular el vector Tangente del triedro, ya que sobre él están basadas todos los cálculos posteriores. Para calcularlo utilizaremos la siguiente fórmula:
*Donde r (t) es el vector que define a nuestra curva ya parametrizada, r’(t) es su derivada y |r’(t)| es el módulo de la derivada.
3. Vector Normal Principal.
En segundo lugar debemos calcular el vector Normal Principal del triedro, para hallar su expresión usaremos esta fórmula:
*Donde T’ (t) es la derivada del vector Tangente y | T’ (t) | es el módulo de la derivada.
4. Vector Binormal.
En último lugar para completar el Triedro de Frenet, tenemos la necesidad de hallar cual es el vector Binormal, el cual es normal al Vector Tangente y al Vector Normal Principal, de ahí que podamos calcularlo mediante un simple producto vectorial entre ambos vectores:
B = T x N
5. Longitud de la curva.
Otro apartado importante, que se ve junto con el Triedro de Frenet, es como poder llegar a calcular la longitud de la curva con la que estamos trabajando.
Generalmente, usaremos la siguiente expresión:
6. Curvatura y Torsión.
Otra de las cosas que veremos en este apartado de la asignatura de Cálculo II, es la curvatura, así como el radio de curvatura, y también la torsión, todas ellas características propias de la curva que estamos estudiando.
6.1. Curvatura, radio de curvatura y círculo osculador.
La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice, que más grande es la curvatura. Su expresión es:
De esta misma manera, definimos el radio de curvatura como la magnitud que mide la curvatura de un objeto geométrico, tal como una línea curva, una superficie o ,más en general, una variedad diferenciable definida en un espacio euclídeo. Su expresión es:
En este apartado, además veremos el círculo osculador, que por así decirlo es el que “besa” a la curva en un punto dado. Una definición un poco más técnica sería esta: es una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la normal a la curva y tiene la misma curvatura que la curva dada en ese punto. El centro y el radio de la circunferencia osculatriz, en un punto de la curva, son llamados centro de curvatura y radio de curvatura de la curva en ese punto. El plano en el que está contenida la circunferecia osculatriz se denomina plano osculador.
*Donde el radio de curvatura es ρ.6.2. Torsión.
La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: cuanto más rápido cambia la torsión, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano, la torsión es nula, ya que, el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene. Su expresión es:
7. Planos del Triedro de Frenet.
Por último, en este apartado de la asignatura, debemos aprender a calcular y a dominar los conceptos de plano Normal, Rectificante y Osculador.
Como podemos ver en la imagen el Plano Normal es perpendicular al Vector Tangente, el Plano Rectificante es perpendicular al Vector Normal Principal y el Plano Osculador es normal al Vector Binormal. Sus expresiones son:
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES:
CO2 + láser UV → C + O2... 3d bioprinting = Inmortalidad = ir a las estrellas ((teclear: viaje interestelar aceleración constante))
ResponderEliminar...viaje interestelar aceleración constante (Katherine Johnson, "la chica" matemática genio)... triedro de Frenet, el algoritmo de ortogonalización...
ResponderEliminar...viaje interestelar aceleración constante (a "el asteroide del fin del mundo")... hay que desviarlo (si no tiene agua usando su misma tierra), ej. ←Tractor-Gravitatorio: componiendo un satélite de Agua en órbita. Astronautas ensamblan una *estructura inicial* que tan pequeña y ligera de Ángulos Metálicos unidos con Tornillos, después rellenándola con Globos vacíos de "1 mt" hechos de kevlar, grafeno, y ya Atados en su sitio LLenándolos de AGUA caliente desde una nave-espacial cisterna. Colocando esa primera formación ya en su adecuada órbita... Y por fuera ir poco a poco Atando entre sí en sus orejetas y LLenando más y más Globos "hasta que se quiera", reforzando cada varias capas de Globos con redes fuertes de "plástico", formando una figura de Globos como un "racimo de uvas", ir Atornillando y sacando desde la *estructura inicial* hacia el exterior siempre más Listones de Ángulos Metálicos para (el "racimo" ya resistente como una roca con sus Globos ya llenos de hielo, o tierra suelta si no hay agua) instalar como superficie final una Plataforma donde "aterrizar", empujar con un cohete, etc... Si alguna vez el "Bunch-1" se viniera contra la Tierra, en la reentrada con el calor se sueltan los "miles" de Globos, se separan y se les funde el Hielo (o sueltan la tierra suelta) más fácilmente, Todos los Globos y amarres deben ser fusibles por el calor y en el centro del "racimo" un Fundamental "Disgregador" como el de los sistemas de eyección de asiento en los aviones, que se active automático con el calor de "esa" reentrada.
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